Question

（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）

設數列是等差數列，且公差為，若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.

（1）若，求證：該數列是“封閉數列”；

（2）試判斷數列是否是“封閉數列”，為什么？

（3）設是數列的前項和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）證明：，--------------------------------------------1分

對任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，則有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分

令，-----------------------------------------9分

所以數列不是封閉數列；---------------------------------------------------10分

（3）解：由是“封閉數列”，得：對任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------11分

于是有為整數，又是正整數。-------------------------------13分

若則，所以，-----------------------14分

若，則，所以，------------------------16分

若，則，于是

，所以，------------------------------------------17分

綜上所述，，顯然，該數列是“封閉數列”。---------------- 18分