Question

（2011•昌平區二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F（-1，0），離心率為

2

2

，過點F的直線l與橢圓C交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=

c

a

=

2

2

，由此能夠求出橢圓的方程．
（II）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直線AB過橢圓的左焦點F，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點N（x₀，y₀），x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₀=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，垂直平分線NG的方程為y-y₀=-

1

k

(x-x0)，由此能求出點G橫坐標的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=

c

a

=

2

2

…（2分）
解得：a=

2

，b=1（3分）
故橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1（4分）
（II）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），（5分）
聯立，得

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0（7分）
∵直線AB過橢圓的左焦點F∴方程有兩個不等實根．（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點N（x₀，y₀）
則x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

（9分）
x₀=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

（10分）
垂直平分線NG的方程為y-y₀=-

1

k

(x-x0)，（11分）
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．（12分）
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0（13分）
∴點G橫坐標的取值范圍為（-

1

2

，0）．（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．