Question

已知{a_n}是等比數列，{a_n}中有連續三項的積為1，則該三項的和的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設出此等比數列的連續三項，根據等比數列的性質變形后即可求出中間項的值為1，然后設出公比為q，根據等比數列的性質表示出前一項與后一項，三項相加，分q大于0和q小于0兩種情況，分別利用基本不等式即可求出三項和的范圍，求出兩范圍的并集即可得到所求．

解答：解：設連續三項中間的項為a_n，則前一項為a_n-1，后一項為a_n+1，
∵{a_n}是等比數列，根據題意有a_n-1•a_n•a_n+1=（a_n）³=1，
∴a_n=1，設公比為q，a_n-1=

1

q

，a_n+1=q，
當q＞0時，a_n-1+a_n+a_n+1=

1

q

+1+q≥3，當且僅當q=1時取等號，
此時該三項的和的取值范圍是[3，+∞）；
當q＜0，即-q＞0時，a_n-1+a_n+a_n+1=

1

q

+1+q=1-[（-

1

q

）+（-q）]≤1-2=-1，當且僅當q=-1時取等號，
此時該三項的和的取值范圍是（-∞，-1]，
綜上，該三項的和的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）

點評：此題考查了等比數列的性質，以及基本不等式的運用．學生在運用基本不等式a+b≥2

ab

時，注意a與b必須為正數．