Question

已知等差數列{a_n}滿足a₃+a₄=9，a₂+a₆=10；又數列{b_n}滿足nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=S_n，其中S_n是首項為1，公比為

8

9

的等比數列的前n項和．
（1）求a_n的表達式；
（2）若c_n=-a_nb_n，試問數列{c_n}中是否存在整數k，使得對任意的正整數n都有c_n≤c_k成立？并證明你的結論．

Answer 1

（1）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₃+a₄=9，a₂+a₆=10，
∴

a1+2d+a1+3d=9 a1+d+a1+5d=10

，解得

a1=2 d=1

，
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
（2）∵S_n是首項為1，公比為

8

9

的等比數列的前n項和，
∴nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(

8

9

)n-1+(

8

9

)n-2+…+

8

9

+1，①
（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+2b_n-2+b_n-1=(

8

9

)n-2+(

8

9

)n-3+…+

8

9

+1，②
①-②得b₁+b₂+…+b_n=(

8

9

)n-1，即Tn=b1+b2+…+bn=(

8

9

)n-1．
當n=1時，b₁=T_n=1，
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=(

8

9

)n-1-(

8

9

)n-2=-

1

9

×(

8

9

)n-2．
∴bn=

b1，當n=1時 - 1 9 ×( 8 9 )n-2，當n≥2時

．．
于是c_n=-a_nb_n

-2，當n=1時 1 9 ×( 8 9 )n-2×(n+1)，當n≥2時

．
設存在正整數k，使得對?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．
當n=1時，c2-c1=

7

3

，即c₂＞c₁．
當n≥2時，cn+1-cn=

1

9

×(

8

9

)n-1(n+2)-

1

9

×(

8

9

)n-2(n+1)
=

1

9

×(

8

9

)n-2[

8

9

(n+2)-(n+1)]=(

8

9

)n-2×

7-n

81

．
∴當n＜7時，c_n+1＞c_n；
當n=7時，c₈=c₇；
當n＞7時，c_n+1＜c_n．
∴存在正整數k=7或8，使得對?n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．