Question

動點M的坐標（x，y）在其運動過程中總滿足關系式

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4．
（1）點M的軌跡是什么曲線？請寫出它的標準方程；
（2）已知直線y=x+t與M的軌跡交于A、B兩點，且OA⊥OB（O為原點），求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4，可得（x，y）與(-

3

，0)，(

3

，0)的距離之和等于常數4，由橢圓的定義可知點M的軌跡，從而可得橢圓的方程；
（2）直線y=x+t與M的軌跡方程聯立，消去y，利用韋達定理及OA⊥OB，即可求得t的值．

解答：0解：（1）∵

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4
∴（x，y）與(-

3

，0)，(

3

，0)的距離之和等于常數4，
由橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，且a=2，c=

3

0
∴b=1，故橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）直線y=x+t與M的軌跡方程聯立，消去y可得5x²+8tx+4t²-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8t

5

，x₁x₂=

4t2-4

5

，
∴y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=

4t2-4

5

-

8t2

5

+t²=-

4

5

+

1

5

t^{20000000000000000000000000}
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=

4t2-4

5

-

4

5

+

1

5

t²=0
∴t=±

2 10

5

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，求得橢圓的方程，正確運用韋達定理是關鍵．