Question

【題目】設函數

（I）求函數f（x）的單調區間；

（II）若，求證：時，.

Answer 1

【答案】（I）當時，f（x）的單調減區間為；當時，f（x）的單調減區間為，單調減區間為（II）見詳解

【解析】

（I）采用分類討論的方法，結合導數判斷函數單調性，可得結果.

（II）構建新的函數，利用導數研究新函數的單調性，并求最小值，與0比較大小，可得結果.

解：（I）

若時，則，

f（x）在上單調遞減；

若時，令解得：

當時，

則，f（x）單調遞減；

當時，

則，f（x）單調遞增；

綜上所述，

當時，f（x）的單調減區間為

當時，f（x）的單調減區間為，

單調減區間為

（II）當時，要證，

即證，

亦即證

令，則

由指數函數及冪函數的性質知：

在上是增函數

，，

在內存在唯一的零點，

也即在上有唯一零點

設的零點為，

則，即，

由的單調性知：

當時，

，h（x）為減函數，

當時，

，h（x）為增函數，

所以當，時，

，即.