Question

【題目】如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液．現將此容器傾斜一定角度（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．

（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角的最大值是多少？

（2）現需要倒出不少于的溶液，當時，能實現要求嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，的最大值是45°（2）不能實現要求，詳見解析

【解析】

（1）當傾斜至上液面經過點B時，容器內溶液恰好不會溢出，此時最大．

（2）當時，設剩余的液面為，比較與60°的大小后發現在上，計算此時倒出的液體體積，比小，從而得出結論．

（1）如圖③，當傾斜至上液面經過點B時，容器內溶液恰好不會溢出，此時最大．

解法一：此時，梯形的面積等于，

因為，所以，，

即，解得，．

所以，要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，的最大值是45°．

　　　　　　③

解法二：此時，的面積等于圖①中沒有液體部分的面積，即，

因為，所以

，即，

解得，．

所以，要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，的最大值是45°．

（2）如圖④，當時，設上液面為，因為，所以點F在線段上，

　　　　　　　④

此時，，,

剩余溶液的體積為，

由題意，原來溶液的體積為，

因為，所以倒出的溶液不滿．

所以，要倒出不少于的溶液，當時，不能實現要求．