已知橢圓
的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且
，
的面積為1（其中
為坐標原點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足
，連結CM，交橢圓于點
，證明：
為定值；
（3）在（2）的條件下，試問
軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.
(1)
.（2）見解析；(3)存在
，使得以
為直徑的圓恒過直線
、
的交點.
解析試題分析：(1)由已知:
,可得
,
,可得橢圓方程為.
（2）由（1）知，設
.根據
知
.
由
消去
,整理得:
,
應用韋達定理得
利用平面向量的坐標運算即得
(定值).
(3)以為直徑的圓恒過
的交點,
由
，建立Q坐標的方程.
試題解析：(1)由已知:,
,
,
所以橢圓方程為. 4分
（2）由（1）知，
.
由題意可設.
由消去,整理得:,
.
,
(定值). 9分
(3)設
.
若以為直徑的圓恒過的交點,
則
.
由(2)可知:
,
,
即
恒成立,
∴存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點. 13分
考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的坐標運算.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
：
和
：
的焦點分別為
，
交于
兩點（
為坐標原點），且
.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點的直線交的下半部分于點
，交的左半部分于點
，點
坐標為
，求△
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知定點
與分別在
軸、
軸上的動點
滿足：
,動點
滿足
．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點任作一直線與點的軌跡交于
兩點，直線
與直線
分別交于點
（
為坐標原點）；
（i）試判斷直線與以
為直徑的圓的位置關系；
（ii）探究
是否為定值？并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
是橢圓
上不同的三點，
，
，在第三象限，線段
的中點在直線
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點
在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于
，
兩點，證明
為定值并求出該定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓E:
的離心率為
，過左焦點
且斜率為
的直線交橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線
：
交橢圓E于C,D兩點.
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦距為
，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為
，
為坐標原點.
（1）求橢圓
的方程.
（2）設斜率為
的直線
與相交于
、
兩點，記
面積的最大值為
，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
經過點
，其左、右頂點分別是
、
，左、右焦點分別是
、
，
（異于、）是橢圓上的動點，連接
交直線
于
、
兩點,若
成等比數列.
（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線段
為直徑的圓過點.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F和橢圓
的右焦點重合,直線
過點F交拋物線于A、B兩點.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線交y軸于點M,且
,m、n是實數,對于直線,m+n是否為定值?
若是,求出m+n的值；否則,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線x2＝4y的焦點為F，過焦點F且不平行于x軸的動直線交拋物線于A、B兩點，拋物線在A、B兩點處的切線交于點M.
(1)求證：A、M、B三點的橫坐標成等差數列；
(2)設直線MF交該拋物線于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．
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