Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+mx，x＜0

是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，設(shè)x＜0得到f（-x）=-f（x），進(jìn)而的f（x）的解析式，求得m的值．
（2）根據(jù)（1）中的解析式，可畫出f（x）的圖象，根據(jù)圖象可知要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，則需a-2＞-1且a-2≤1，進(jìn)而求得a的范圍．

解答：解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，所以f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2．
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f（x）的圖象知

a-2＞-1 a-2≤1

所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．屬基礎(chǔ)題．