Question

如圖，兩個工廠A、B相距2km，點O為AB的中點，要在以O為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB.據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數為1；辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數為4，辦公樓與A、B兩廠的“總噪音影響度”y是A、B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為xkm.

(1)求“總噪音影響度”y關于x的函數關系式，并求出該函數的定義域；

(2)當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？

 

Answer 1

（1）y＝(≤x≤)（2）AP＝km

【解析】(1)(解法1)如圖，連結OP，

設∠AOP＝α，則≤α≤.

在△AOP中，由余弦定理得x2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，

在△BOP中，由余弦定理得BP2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，

∴BP2＝10－x2，∴y＝.

∵≤α≤，∴≤x≤，∴y＝(≤x≤)．

(解法2)建立如圖所示的直角坐標系，則A(－1，0)，B(1，0)，設P(m，n)，則PA2＝(m＋1)2＋n2，PB2＝(m－1)2＋n2.

∵m2＋n2＝4，PA＝x，

∴PB2＝10－x2(后面解法過程同解法1)．

(2)(解法1)y＝＝[x2＋(10－x2)]

＝(5＋)≥(5＋2)＝，

當且僅當，即x＝∈[，]時取等號．

故當AP＝km時，“總噪音影響度”最小．

(解法2)由y＝，得

y′＝－.

∵≤x≤，∴令y′＝0，得x＝，且當x∈時，y′<0；當x∈(，]時，y′>0.∴x＝時，y＝取極小值，也即最小值．故當AP＝km時，“總噪音影響度”最小