Question

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）試比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過對x取1，2求出a及S_n
（2）先通過不完全歸納猜出兩者的大小，然后用數學歸納法證明．注意三歩：第一步證基礎第二步證遞推關系第三歩總結．
解答：解：（1）取x=1，則a=2ⁿ；
取x=2，則a+a₁+a₂+a₃++a_n=3ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=3ⁿ-2ⁿ；
（2）要比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比較：3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
當n=1時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=4，5時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；（
猜想：當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用數學歸納法證明：
由上述過程可知，n=4時結論成立，
假設當n=k，（k≥4）時結論成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
兩邊同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1時結論也成立，
∴當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
綜上得，
當n=1時，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，S_n＜（n-2）2ⁿ+2n²；
當n≥4，n∈N^*時，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²
點評：本題考查賦值法是求系數和的重要方法；考查數學歸納法證明與自然數有關的命題．