Question

在直角坐標平面XOY上的一列點A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…簡記為{A_n}，若由bn=

AnAn+1

•

j

構成的數列{b_n}滿足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N） （其中

j

是與y軸正方向相同的單位向量），則稱{A_n}為“和諧點列”．
（1）試判斷：A₁（1，1），A2(2，

1

2

)，A3(3，

1

22

)…An(n，

1

2n-1

)…是否為“和諧點列”？并說明理由．
（2）若{A_n}為“和諧點列”，正整數m，n，p，q滿足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求證：a_q+a_m＞a_n+a_p．

Answer 1

分析：（1）由An(n，

1

2n-1

)，An+1(n+1，

1

2n

)，知

AnAn+1

=(1，-

1

2n

)，所以bn=

AnAn+1

•

j

= -

1

2n

，由此知{A_n}為“和諧點列”．
（2）由A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），知

AnAn+1

=(1，an+1-an)．由

j

=(0，1)，知b_n=a_n+1-a_n．由此入手能夠證明a_q+a_m＞a_n+a_p．

解答：解：（1）∵An(n，

1

2n-1

)，An+1(n+1，

1

2n

)，
∴

AnAn+1

=(1，-

1

2n

)，
又∵

j

=(0，1)，∴bn=

AnAn+1

•

j

= -

1

2n

，
∴bn+1=-

1

2n+1

，bn=-

1

2n

，
顯然b_n+1＞b_n，∴{A_n}為“和諧點列”．
（2）證明：∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=(1，an+1-an)．又因為

j

=(0，1)，
∴b_n=a_n+1-a_n．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴a_q-q_p=a_q-q_q-1+a_q-1-a_q-2+…+a_p+1-a_p=b_q-1+b_q-2+…+b_p．
∵{A_n}為“和諧點列”∴b_n+1＞b_n．
∴b_q-1+b_q-2+…+b_m=（q-p）b_p．
即a_q-a_p≥（q-p）b_p．
同理可證：a_n-a_m=b_n-1+b_n-2+…+b_m≤（n-m）b_n-1．
∵b_p＞b_n-1，n-m=q-p．
∴（q-p）b_q＞（n-m）b_n-1．
∴a_q-a_p＞a_n-a_m．
∴a_q+a_m＞a_n+a_p．

點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意“和諧點列”的理解和合理地進行等價轉化．