Question

有甲乙兩個學校進行了一門課程的考試，某同學為了研究成績與學校是否有關，他進行了如下實驗：先將甲校和乙校各300名同學編成1～300號，然后用系統抽樣的方法各抽取了20名同學（兩校學生抽取號碼相同），記錄下他們的成績如下表，表格中部分編號用“×”代替，空缺編號需補充．

編號		18		48		78			123
甲校	75	92	68	92	95	86	75	88	78	45
乙校	92	62	66	77	83	65	77	62	56	82
編號	×	×	×	×	×	×	×	×	×	×
甲校	86	77	85	56	82	77	86	78	88	78
乙校	78	85	66	56	55	91	65	77	79	65

（1）把表格中空白處的編號補充完整．
（2）若規定該課程分數在80分以上為“優秀”，80分以下為“非優秀”
（Ⅰ）從乙校成績為“優秀”的學生中隨機抽取2人，求兩人的分數都不高于90分的概率．
（Ⅱ）試分析有多大把握認為“成績與學校有關系”．

Answer 1

分析：（1）由題意知將300名同學編成1～300號，系統抽樣的方法各抽取20名同學，得到在系統抽樣中分段的間隔，根據間隔的大小做出要抽取得號數，即用所給的號數減去間隔數得到前一個空白．
（2）（I）由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發生所包含的事件是乙校“優秀”學生共有5人，從中抽取2人列出共10種，其中兩人的分數都不高于90分共3種，得到概率．
（II）根據所給的數據列出列聯表，根據列聯表把數據代入求觀測值的公式，做出觀測值，同臨界值進行比較，得到對應的概率，得到有1-0.15=85%的把握認為“成績與學校有關系”．

解答：解：（1）∵將甲校和乙校各300名同學編成1～300號，然后用系統抽樣的方法各抽取了20名同學，
∴在系統抽樣中分段的間隔是

300

20

=15
∴編號為：3，33，63，93，108，138        …（2分）
（2）（Ⅰ）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生所包含的事件是乙校“優秀”學生共有5人，從中抽取2人列出共10種，
其中兩人的分數都不高于90分共3種，
所以P=

3

10

．    …（7分）
（II）列出成績與學校的2×2列聯表

	優秀	非優秀	總計
甲校	10	10	20
乙校	5	15	20
總計	15	25	40

…（9分）
∴K²=

40(10×15-5×10)2

(10+10)(5+15)(10+15)(10+5)

≈2.677＞2.072  …（11分）
∵P（K²=2.072）=0.15
所以有1-0.15=85%的把握認為“成績與學校有關系”．            …（12分）

點評：本題考查獨立性檢驗的應用，考查等可能事件的概率及系統抽樣，本題解題的關鍵是正確應用求觀測值的公式，理解臨界值對應的概率的意義，本題是一個綜合題目．