Question

已知函數(shù).
(Ⅰ) 若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)的值.
（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) ；
（Ⅱ） 。

試題分析：(Ⅰ) 由得
               （2分）
 
函數(shù)在處的切線方程為，
所以 ，解得                   （5分）
（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，
所以，，而   （6分）
由（Ⅰ）知
令得或                         （8分）
（1）當(dāng)即時，恒成立，所以在上遞增，成立                        （9分）
（2）當(dāng)即時，由解得或
①當(dāng)即時，在上遞增，在上遞減，
所以，解得；
②當(dāng)即時，在上遞增，在上遞減，
在上遞增，
故，
解得；                              （12分）
（3）當(dāng)即時，由解得或
①當(dāng)即時，在上遞減，在上遞增，舍去；
②當(dāng)即時，在上遞增，在上 遞減， 在上遞增，
所以，解得 （14分）
所以實數(shù)的取值范圍為 （15分）
點評：中檔題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。