Question

【題目】已知橢圓的離心率為，傾斜角為的直線經過橢圓的右焦點且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程；

(2)若直線與圓相切于點，且交橢圓于兩點，射線于橢圓交于點，設的面積于的面積分別為.

①求的最大值；

②當取得最大值時，求的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據離心率為、圓心到直線距離等于半徑，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓 的方程；(2) 直線與圓相切得： ，將直線代入橢圓的方程得： ①根據點到直線距離公式、弦長公式結合韋達定理及三角形面積公式可得，利用基本不等式可得結果；②當取得最大值時， ， .

試題解析：(1)依題直線的斜率.設直線的方程為,

依題有：

(2)由直線與圓相切得： .

設.將直線代入橢圓的方程得：

,且.

設點到直線的距離為,故的面積為：

,

當.等號成立.故的最大值為1.

設，由直線與圓相切于點，可得，

.

.,

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.