Question

(13分)如圖，在邊長為2的菱形中，，是和的中點.（Ⅰ）求證：平面 _;
（Ⅱ）若,求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ)證明:見解析；(Ⅱ) 與平面所成的角的正弦值為。

(I)根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明EF//PB即可.
（II），取BC的中點M，連接PM，AM，由題目條件可知是正三角形，所以,所以就是直線PA與平面PBC所成的角，然后解三角形即可求出此角.
(Ⅰ)證明:∵ 是和的中點.
∴EF//PB………………………………………2
又∵EF平面PBC,PB平面PBC……………4
∴平面 _;………………………….5
(Ⅱ)解:過A作AH⊥BC于H,連結(jié)PH………………….6
∵, AH平面ABCD
PC⊥AH,又PC∩BC=C
AH⊥平面PBC…………………………………………8
∠APH為與平面所成的角.----------------9
邊長為2菱形中，∴ABC為正三角形, 又AH⊥BC
∴H為BC中點,AH=,……………………………10
PC=AC=2∴PA=…………………………………11
∴sin∠APH=
故與平面所成的角的正弦值為………………13