Question

（12分）已知函數 (R)．

(Ⅰ)  當時，求函數的極值；

（Ⅱ）若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為. 

（Ⅱ），a的取值范圍是

【解析】解：（Ⅰ）當時，，

∴.                     

       令=0, 得 .                                …… 2分                   

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增.                 …… 4分   

∴ 當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.     …… 6分

（Ⅱ） ∵ = ，∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                      …… 7分

∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上單調遞增 .                                                   

∵f（0），,                   

∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．    …… 8分 

② 若a＜1，則△＞0，∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                       

                          

∵,∴.

∴

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞．                                    

          而當時,,

          故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.   …… 11分                            

綜上所述，a的取值范圍是．                     　 …… 12分