Question

（本題滿分12分）

已知橢圓G的中心在坐標原點,與雙曲線有相同的焦點，且過點.

(Ⅰ) 求橢圓G的方程；

(Ⅱ) 設、是橢圓G的左焦點和右焦點，過的直線與橢圓G相交于A、B兩點，請問的內切圓M的面積是否存在最大值？若存在,求出這個最大值及直線的方程，若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)雙曲線的焦點坐標為，所以橢圓的焦點坐標為

設橢圓的長軸長為，則，即，又，所以

∴橢圓G的方程

 (Ⅱ)如圖,設內切圓M的半徑為,與直線的切點為C，

則三角形的面積等于的面積+的面積+的面積.

即.

當最大時,也最大, 內切圓的面積也最大, 

設、(),則,

 

由,得,

 

解得,,

 

∴,令,則,且,

 

有,令,則,

 

當時,,在上單調遞增,有,,

 

即當,時,有最大值,得,這時所求內切圓的面積為,

 

∴存在直線,的內切圓M的面積最大值為.

【解析】略