Question

已知向量

a

=(m，1)與

b

=(1，n-1)互相垂直，且點（m，n）在第一象限內運動，則log₂m+log₂n的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根據兩個向量垂直數量積為0，得到兩個向量坐標的關系，要求兩個對數的和的最值，根據對數的性質和基本不等式變化得到結果．注意這個關系中等號成立的條件．

解答：解：∵向量

a

=(m，1)與

b

=(1，n-1)垂直，
有（m，1）•（1，n-1）=0，
∴m+n=1；
又m＞0，n＞0，
∴log₂m+log₂n=log2mn≤log2(

m+n

2

)2=log22-2=-2，
當且僅當m=n=

1

2

時“=”成立．
故答案為：-2．

點評：本題是一個綜合題，即考到向量垂直的充要條件，對數的性質還考到基本不等式．兩個向量的數量積是一個數量，它的值是兩個向量的模與兩向量夾角余弦的乘積，結果可正、可負、可以為零．