Question

）已知，A是拋物線y²＝2x上的一動點，過A作圓(x－1)²＋y²＝1的兩條切線分別切圓于EF兩點，交拋物線于M．N兩點，交y軸于                  B．C兩點

      （1）當A點坐標為(8，4)時，求直線EF的方程；

      （2）當A點坐標為(2，2)時，求直線MN的方程；

      （3）當A點的橫坐標大于2時，求△ABC面積的最小值。

Answer 1

（1）∵DEFA四點共圓

EF是圓（x－1）²＋y²＝1及(x－1)(x－8)＋y(y－4)＝0的公共弦

∴EF的方程為7x＋4y－8＝0………………………………………………4分

（2）設AM的方程為y－2＝k(x－2)

即kx－y＋2－2k＝0與圓(x－1)²+y²＝1相切得

＝1

∴k＝

把y－2＝（x－2）代入y²＝2x得M(，)，而N(2，－2)

∴MN的方程為3x＋2y－2＝0………………………………………………8分

（3）設P(x₀，y₀)，B(0，b)，C(0，c)，不妨設b＞c，

直線PB的方程為y－b＝，

即(y₀－b)x－x₀y＋x₀b＝0

又圓心（1，0）到PB的距離為1，所以＝1，故

（y₀－b）²＋x＝（y₀－b）²＋2x₀b(y₀－b)+ xb²

又x₀＞2，上式化簡得（x₀－2）b²＋2y₀b－x₀＝0

同理有（x₀－2）c²＋2y₀c－x₀＝0

故b，c是方程（x₀－2）t²＋2y₀t－x₀＝0的兩個實數根

所以b＋c＝，bc＝，則(b－c)²＝

因為P(x₀，y₀)是拋物線上的點，所以有y＝2x₀，則

(b－c)²＝，b－c＝，

∴S_△PBC＝(b－c)x₀＝＝x₀－2＋＋4≥2＋4＝8

當（x₀－2）²＝4時，上式取等號，此時x₀＝4，y＝±2

因此S_△PBC的最小值為8…………………………………………………………13分