Question

若點 (p , q )在，  中按均勻分布出現。

(1)求方程有兩個實數根的概率；

(2) 若，p,q∈Z，試求方程

當時恰有兩個實根的概率。

Answer 1

解：(1)  ，表示一個正方形區域，易得其面積為36  ………（1分）

若方程有兩個實數根，則有，即

  (注：若無等號扣1分)

解得表示正方形中圓以外的區域，其面積為36-，………………………（3分）

即方程有兩個實數根的概率為  ……………………（4分）

要使得原方程有兩個實根，則與的圖像有且僅有2個交點，

所以=0或>1

又有 – 2.5 < p < - 0.5，所以p = -2 或 p = -1

(i)              若=0，則,所以

即解得q= 1或q = -2，故符合方程有兩個實根的情況有

（-2 ，1）， （-2 ， -2 ）， （ -1 ， 1），（-1 ， -2）

共4種情況 。

(ii)若>1，則，所以

   即，∴q= -1 或q = 0，故符合方程有兩個實根的情況

（-2 ，-1）， （-2 ， 0 ）， （ -1 ， -1），（-1 ， 0）

有共4種情況；  

   綜上所述，符合方程有兩個實根的情況共有8種， 

所以方程恰有兩個實根的概率                  

答：此方程恰有兩個實根的概率為