Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B為切點，OC平行于弦AD，連結CD.
 
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點P，求證：P點平分線段DE.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)連結OD，
∵OC∥AD，
∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠1＝∠2.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△DOC≌△BOC，
∴∠ODC＝∠OBC.
∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線，
∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．
 
(2)證法一：過點A作⊙O的切線AF，交CD的延長線于點F，則FA⊥AB.
∵DE⊥AB，由(1)知CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，∴.
在△FAC中，∵DP∥FA，∴.
∵FA，FD是⊙O的切線，∴FA＝FD，
∴，∴
在△ABC中，∵EP∥BC，∴.
∵CD，CB是⊙O的切線，∴CB＝CD，
∴.
∴，∴DP＝EP.
∴點P平分線段DE.
證法二：輔助線同上．
由(1)及已知條件知BC，CD，AF為⊙O的切線，B，D，A為切點，
∴CB＝CD，FA＝FD.
設CD＝m，FD＝n.
∵DE⊥AB，∴AF∥DE∥BC.
∴，即PD＝，PE＝，
∴PD＝PE，因此P點平分線段DE.