Question

 (本小題滿分12分)函數f(x)=log_a(x²－4ax+3a²), 0<a<1, 當x∈[a+2,a+3]時，恒有|f(x)|≤1，試確定a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

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【解析】本題考查對數型復合函數，求其定義域時要注意底數大于0且不等式于1，第二問考查了利用復合函數的單調性轉化為不等式求參數，有一定難度．

求函數f（x）的定義域，依據對數函數的定義，底數大于0且不等于1，真數大于0，轉化為不等式用參數a表示出函數f（x）的定義域；由這個結論知[a+2，a+3]必為（0，a）或者（3a，+∞）的子集，故[a+2，a+3]必為f（x）的單調區間，欲滿足|f（x）|≤1，只須|f（a+2）|≤1，|f（a+3）|≤1同時成立，解此二不等式即可求得a的取值范圍．

解：f(x)=log_a(x²－4ax+3a²)= log_a(x－3a)(x－a)

∵|f(x)|≤1恒成立，

∴    -1≤log_a(x－3a)(x－a)≤1                   ………………2分

∵    0＜a＜1.                                

∴a≤(x－3a)(x－a)≤對x∈[a+2,a+3]恒成立.      ………………5分

 令h(x)= (x－3a)(x－a),                          

  其對稱軸x=2a.     又 2a＜2,   2＜a+2,

∴當x∈［a+2,a+3］時，

h(x)_min=h(a+2),h(x)_max=h(a+3).        ……………8分

∴

.                             ………………12分