【題目】已知函數
，
為常數.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若函數有兩個極值點
，
，且
，求證：
.
【答案】(1)見解析(2)見證明
【解析】
（1）
分子所對應的二次函數
,分情況討論的正負以及根與1的大小關系，即可；（2）由（1）得兩個極值點
滿足
，所以
，則
，將
化簡整理為
的函數即
，構造函數求導證明不等式即可.
(1)函數的定義域為
.
由題意，
.
（i）若
，則
，于是
，當且僅當
時，
，所以
在單調遞減.
（ii）若
，由，得
或
，
當
時，
；
當
時，
；
所以在
單調遞減，
單調遞增.
（iii）若
，則
，
當
時，；當
時，；
所以在
單調遞減，
單調遞增
綜上所述，當時，函數在上單調遞減；
當時，函數在上單調遞減，上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減，上單調遞增.
（2）由（1）知，有兩個極值點當且僅當，
由于的兩個極值點滿足，所以，則，
由于
.
設
.
.
當
時，
，所以
.
所以
在
單調遞減，又
.
所以
，即
.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，直線
過定點
.
（1）點
在圓
上運動，求
的最小值，并求出此時點的坐標.
（2）若與圓C相交于
兩點，線段
的中點為
，又與
的交點為
，判斷
是否為定值.若是，求出定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
分別是正方體
的棱
上兩點，且
，給出下列四個命題正確的是（ ）
A.異面直線
與
所成的角為
B.
平面
C.三棱錐
的體積為定值；
D.直線與平面所成的角為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，正三角形
的中線
與中位線
相交于點
，已知
是
繞旋轉過程中的一個圖形，現給出下列四個命題，其中正確的命題的序號是（ ）
A.動點
在平面上的射影在上
B.恒有平面
平面
C.三棱錐
的體積有最大值
D.直線
與
不可能垂直
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的兩個焦點分別為
，點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點M(1,0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點，設點N(3，2)，記直線AN、BN的斜率分別為k1、k2,求證：k1+k2為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋物線
焦點為F，
上任一點P在y軸的射影為Q，PQ中點為R，
．
（1）求動點T的軌跡
的方程；
（2）直線
過F與從下到上依次交于A，B，與交于F，M，直線
過F與從下到上依次交于C，D，與交于F，N，，的斜率之積為-2．
（i）求證：M，N兩點的橫坐標之積為定值；
（ii）設△ACF，△MNF，△BDF的面積分別為
，
，
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜
，則( )
A. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
B. E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
D. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】歷史上，許多人研究過圓錐的截口曲線．如圖，在圓錐中，母線與旋轉軸夾角為
，現有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉軸的交點
到圓錐頂點
的距離為
，對于所得截口曲線給出如下命題：
①曲線形狀為橢圓；
②點為該曲線上任意兩點最長距離的三等分點；
③該曲線上任意兩點間的最長距離為
，最短距離為
；
④該曲線的離心率為
．其中正確命題的序號為 （ ）
A. ①②④B. ①②③④C. ①②③D. ①④
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