Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，＝Sn＋1＋Sn.

(1)求{an}的通項公式；

(2)設，求數列{bn}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】(1) ； （2）.

【解析】

（1）a＝Sn＋1＋Sn①，當n≥2時，a＝Sn＋Sn－1②，①－②得a－a＝an＋1＋an可推出an＋1－an＝1，即可求解（2）利用錯位相減法求和即可.

(1)因為a＝Sn＋1＋Sn，①

所以當n≥2時，a＝Sn＋Sn－1，②

①－②得a－a＝an＋1＋an，即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，

因為an>0，所以an＋1－an＝1，所以數列{an}從第二項起，是公差為1的等差數列．

由①知a＝S2＋S1，因為a1＝1，所以a2＝2，

所以當n≥2時，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③

又因為a1＝1也滿足③式，所以an＝n(n∈N*)．

(2)由(1)得＝(2n－1)·2n，Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④

2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤

④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，

所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，

故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.