Question

【題目】已知指數函數y=g（x）滿足：g（3）=27，定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）確定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（2）若h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零點，求k的取值范圍；
（3）若對任意的t∈（1，4），不等式f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設g（x）=ax（a＞0且a≠1），則a3=27，∴a=3，∴g（x）=3x，…（1分）∴ ，

因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，即 ，…（2分）

∴ ，又f（﹣1）=﹣f（1），∴ ；∴ ．

（2）解：由（1）知：g（x）=3x，又因h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零點，

從而h（0）h（1）＜0，即（0﹣1）（k﹣3）＜0，

∴k﹣3＞0，∴k＞3，

∴k的取值范圍為（3，+∞）．

（3）解：由（1）知 ，

∴f（x）在R上為減函數

又因f（x）是奇函數，f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0

所以f（2t﹣3）＞﹣f（t﹣k）=f（k﹣t），…10分

因f（x）為減函數，由上式得：2t﹣3＜k﹣t，

即對一切t∈（1，4），有3t﹣3＜k恒成立，

令m（x）=3t﹣3，t∈[1，4]，易知m（x）在[1，4]上遞增，所以ymax=3×4﹣3=9，

∴k≥9，

即實數k的取值范圍為[9，+∞）．

【解析】（1）設g（x）=ax（a＞0且a≠1），根據g（3）=27，定義域為R的函數f（x）= 是奇函數即可解出；（2）h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零點，從而h（0）h（1）＜0，（3）對任意的t∈R不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，則f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）恒成立，因此t2﹣2t＞k﹣2t2 ， 化為k＜3t2﹣2t在t∈R上恒成立k＜（3t2﹣2t）min ， 此函數為二次函數，求出最值即可