Question

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓”的方程；

（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據求得，再結合可得以及，即可解出，從而求出橢圓及其“準圓”的方程；

（2）先由弦軸時，求出原點到弦的距離，然后再證明弦不垂直于軸時，原點到弦的距離也為，根據弦長公式即可得到，即弦的長為定值．

（1）設橢圓的左焦點，

由得，

又，即，

且，所以，

則所求的橢圓的方程為，

橢圓的“準圓”方程為.

（2）證明：①當弦軸時，交點關于軸對稱，

又，則，

可設，得，

此時原點到弦的距離；

②當弦不垂直于軸時，設直線的方程為，

且與橢圓的交點，

聯列方程組，

代入消元得：，

由，

可得，

由得，

即，所以，

此時成立，

則原點到弦的距離，

綜上得，原點到弦的距離為，則，因此弦的長為定值．