Question

（本小題滿分10分）
已知圓O：，圓C：，由兩圓外一點引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，滿足|PA|=|PB|.

（Ⅰ）求實數a、b間滿足的等量關系；
（Ⅱ）求切線長|PA|的最小值；
（Ⅲ）是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) (2)2(3)不存在符合題設條件的圓P

試題分析：（Ⅰ）連結PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1，
∴|PO|²=|PC|²，從而
化簡得實數a、b間滿足的等量關系為：
.                            ………………3分
（Ⅱ）由，得


∴當時，                  ………………3分
（Ⅱ）∵圓O和圓C的半徑均為1，若存在半徑為R圓P，與圓O相內切
并且與圓C相外切，則有
  且 
于是有：  即 
從而得
兩邊平方，整理得   ……………2分
將代入上式得：
故滿足條件的實數a、b不存在，∴不存在符合題設條件的圓P………………2分
點評：利用線與圓的相切，根據切線長定理建立關系式，進而得到a,b的關系。對于條件性探索試題，可以先假設存在，在假設的基礎上推理論證，求解得到， 說明存在，不存在會找到一個矛盾。屬于中檔題。