Question

已知函數y=f（x）的定義域和值域都是[-1，1]（其圖象如圖所示），函數g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定義：當f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）時，稱x₂是方程f（g（x））=0的一個實數根．則方程f（g（x））=0的所有不同實數根的個數是（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：通過圖象可知方程f（x）=0數有4個非零實數解，由g（x）=sinx，x∈[-π，π]，當f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]），即f[g（x）]=0根的個數推出正確結論．

解答： 解：當f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁，即f[g（x）]=0
通過圖象可知方程f（x）=0有4個非零實數解，分別設為t₁，t₂，t₃，t₄，
由已知中的圖象可知：t₁，t₂，t₃，t₄∈（-1，1）
又∵函數g（x）=sinx，x∈[-π，π]，
∴g（x）∈[-1，1]，
∴g（x）分別為t₁，t₂，t₃，t₄時都有兩個x值與之對應，
因此方程f（g（x））=0的所有不同實數根的個數是8個，
故選：D

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，函數的圖象，考查邏輯思維能力，是中檔題．