Question

15、f（x）是定義域在R上的函數(shù)，已知：f（x+y）=f（x）+f（y）對(duì)于任意x，y∈R都成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：判斷f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：對(duì)于抽象函數(shù)的求解策略和方法為賦值法，（1）令x=y=0，代入已知條件，即可求得結(jié)果；
（2）令y=-x，代入已知條件即可判定函數(shù)的奇偶性．

解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）對(duì)于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
（2）函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
證明：令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，其中賦值法是常用的方法，考查函數(shù)的奇偶性的定義，屬基礎(chǔ)題．