Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x﹣2）=﹣f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x2+x+sinx，若方程f（x）=m（m＞0）在區間[﹣4，4]上有四個不同的根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 則x1+x2+x3+x4的值為（ ）
A.2
B.﹣2
C.4
D.﹣4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x﹣2）=﹣f（x），

∴f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），

即函數的周期是4，

且f（x﹣2）=﹣f（x）=f（﹣x），

則函數的對稱軸為：x=﹣1，f（x）是奇函數，

所以x=1也是對稱軸，x∈[0，1]時，f（x）=x2+x+sinx，

函數是增函數，

作出函數f（x）的簡圖，

若方程f（x）=m（m＞0）在區間[﹣4，4]上

有四個不同的根x1，x2，x3，x4，

則四個根分別關于x=1和x=3對稱，

不妨設x1＜x2＜x3＜x4，

則x1+x2=﹣6，x3+x4=2，

則x1+x2+x3+x4=﹣6+2=﹣4，

所以答案是：D．