Question

某人上午7：00時，乘摩托車以勻速V千米/時（4≤V≤20）從A港出發到相距50千米的B港去，然后乘汽車以勻速W千米/時（30≤W≤100）自B港向距300千米的C市駛去，要求在當天16：00時至21：00時這段時間到達C市．設汽車所需要的時間為X小時，摩托車所需要的時間為Y小時．
（1）作圖表示滿足上述條件的X，Y的范圍；
（2）如果已知所要的經費：p=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么V，W分別是多少時所要的經費最少？此時需花費多少元？

Answer 1

解：（1）依題意得：，，又4≤v≤20，30≤w≤100，
所以，而9≤x+y≤14，
所以滿足條件的點的范圍是圖中陰影部分：
（2）∵p=100+3×（5-x）+2×（8-y），∴3x+2y=131-p
作出一組平行直線3x+2y=t（t為參數），
由圖可知，當直線3x+2y=t經過點（10，4）時，其在y軸上截距最大，
此時p有最小值，即當x=10，y=4時，p最小，此時v=12.5，w=30，p_min=93元
分析：（1）依題意得：，，又4≤v≤20，30≤w≤100，解出x，y所滿足的范圍，作出符合條件的圖形；
（2）先確定目標函數，由題設得3x+2y=131-p，令3x+2y=t，即為目標函數，由（1）中的圖知，當直線3x+2y=t經過點（10，4）時，其在y軸上截距最大，此時p有最小值，求出其最小值，及此時的V，W的值
點評：本題考查簡單線性規劃的應用，解題的關鍵是理解簡單線性規劃的意義及其原理，解題步驟，本題的難點是建立線性約束條件及確定線性目標函數，本題考查了數形結合的思想及轉化的思想