Question

（本小題滿分12分）
如圖，是直角三角形，，交于點，平面，，．
（1）證明：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

(1)見解析
（2）平面與平面所成的銳二面角的余弦值為　

本試題主要是考查了立體幾何中線線垂直的證明，以及二面角的求解，綜合考查了同同學們的空間想象的能力和邏輯推理能力和計算能力的運用。靈活運用定理和性質來解決問題的運用。
（1）對于線線垂直的判定，一般通過線面垂直的性質定理得到。關鍵是判定BM垂直于平面ACEF
（2）建立適當的坐標系，運用坐標表示平面的法向量，利用法向量與法向量的夾角來求解二面角的平面角的問題。
解：（法一）（1）平面平面，．……………1分
又，平面
而平面． ………………………………………3分
是直角三角形，，．
又，．
平面，，平面．
與都是等腰直角三角形．．
，即（也可由勾股定理證得）．………………………………5分
，平面．而平面，
． ………………………………………………………………………………6分

（2）延長交于，連，過作，連結．
由（1）知平面，平面，．
而，平面．
平面，，
為平面與平面所成的二面角的平面角．    ……………………8分
在中，，，
．
由，得．
．
又，
，則．   ………………………………11分
是等腰直角三角形，．
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為　 ………………………12分
（法二）（1）同法一，得．            ………………………3分
如圖，以為坐標原點，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標系．
由已知條件得，
． ………4分
由，
得， ．  ……………6分

（2）由（1）知．
設平面的法向量為，
由 得，
令得，，            …………………………9分
由已知平面，所以取面的法向量為，
設平面與平面所成的銳二面角為，
則， …………………………11分
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．    ……………………12分