Question

（2011•開封一模）過雙曲線M；x²-

y2

b2

=1（b＞0）的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線的漸近線分別交于B、C兩點(diǎn)，且

AB

=

BC

，則雙曲線的離心率是（　　）

• A．

  10

• B．

  5

• C．

  15

  2

• D．

  10

  3

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線方程，得漸近線方程為y=-bx或y=bx．設(shè)直線l的方程為y=x+1，與漸近線方程聯(lián)解分別得到B、C的橫坐標(biāo)關(guān)于b的式子．由

AB

=

BC

得B為AC的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立關(guān)于b的方程并解之可得b=3，由此算出c=

10

，即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：由題可知A（-1，0）所以直線l的方程為y=x+1
∵雙曲線M的方程為x²-

y2

b2

=1，∴兩條漸近線方程為y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx聯(lián)解，得B的橫坐標(biāo)為x_B=-

1

b+1

同理可得C的橫坐標(biāo)為x_C=

1

b-1

∵

AB

=

BC

，∴B為AC中點(diǎn)，可得2x_B=x_A+x_C，
即-

1

b+1

•2=-1+

1

b-1

，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c=

a2+b2

=

10

，可得雙曲線的離心率e=

c

a

=

10

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的漸近線與過左頂點(diǎn)A的直線相交于B、C兩點(diǎn)且B為AC的中點(diǎn)，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．