Question

已知數(shù)列中，，，.

（1）求證：是等差數(shù)列；并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）假設(shè)對(duì)于任意的正整數(shù)、，都有，則稱該數(shù)列為“域收斂數(shù)列”. 試判斷: 數(shù)列，是否為一個(gè)“域收斂數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

Answer 1

（1）證明略  （2）是

解析:

（1）證明：因?yàn)?img width=264 height=65 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/61/5261.gif">，

所以，；故是等差數(shù)列.

由此可得，，

所以，.

（2）解：由條件，可知

當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，.

令，則

                            

所以，當(dāng)時(shí)，；

同理可得，當(dāng)時(shí)，；

即數(shù)列在時(shí)遞增；時(shí)，遞減；即是數(shù)列的最大項(xiàng).

然而，因?yàn)?img width=31 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/86/5286.gif">的奇數(shù)項(xiàng)均為，故為數(shù)列的最小項(xiàng)；

而，，所以，

故是數(shù)列的最大項(xiàng).

因此，對(duì)任意的正整數(shù)、，

所以數(shù)列，是一個(gè)“域收斂數(shù)列”.