Question

已知總體的各個體的值由小到大依次為2，3，3，7，a，b，12，14，18，20，且總體的中位數為10.5（將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據或最中間兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數）．
（1）求該總體的平均數；
（2）求a的值，使該總體的方差最小．

Answer 1

分析：（1）由中位數和平均數的定義可解決
（2）由a、b的關系，把問題轉化成二次函數求最值問題，即可求解

解答：解：（1）由題意得

a+b

2

=10.5，即a+b=21．-----------------------（2分）
于是2+3+3+7+a+b+12+14+18+20=100，----------------------（4分）
所以2，3，3，7，a，b，12，14，18，20的平均數為

100

10

=10．----------------------（6分）
（2）設2，3，3，7，a，b，12，14，18，20的方差為s²，則
s²=

1

10

[(2-10)2+(3-10)2+…+(a-10)2+(b-10)2+…+(20-10)2]
=

1

10

[355+(a-10)2+(b-10)2]=

1

10

[355+(a-10)2+(11-a)2]
=

1

5

(a2-21a+288)．----------------------（11分）
故當a=

21

2

=10.5時，總體的方差s²取得最小值．---------------------（14分）

點評：本題考查數據的平均數、中數、方差，其次要掌握平均數、中數、方差的計算公式，還考查二次函數求最值問題