Question

【題目】已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點，C的準線與E交于P，Q兩點，且．

（1）求E的方程；

（2）過E的左頂點A作直線l交E于另一點B，且BO（O為坐標原點）的延長線交E于點M，若直線AM的斜率為1，求l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據題意，先得到橢圓焦點坐標，再由，得到，根據焦點坐標得到，兩式聯立，求出，，即可得出結果；

（2）先由題意，設直線的方程為，，聯立直線與橢圓方程，求出點坐標，根據對稱性，得到的坐標，再由直線斜率公式，即可求出結果.

（1）因為拋物線的焦點為，

由題意，可得：橢圓的兩焦點為，

又拋物線的準線與交于，兩點，且，將代入橢圓方程得，所以，則，即①，

又②，根據①②解得：，，

因此橢圓的方程為；

（2）由（1）得的左頂點為，設直線的方程為，，

由得，所以，

因此，所以，

則，

又因為（為坐標原點）的延長線交于點，

則與關于原點對稱，所以，

因為直線的斜率為1，

所以，解得：，

因此，直線的方程為：.