Question

【題目】一艘船在航行過程中發現前方的河道上有一座圓拱橋．在正常水位時，拱橋最高點距水面8m，拱橋內水面寬32m，船只在水面以上部分高6.5m，船頂部寬8m，故通行無阻，如圖所示．

（1）建立適當的平面直角坐標系，求正常水位時圓弧所在的圓的方程；
（2）近日水位暴漲了2m，船已經不能通過橋洞了．船員必須加重船載，降低船身在水面以上的高度，試問：船身至少降低多少米才能通過橋洞？（精確到0.1m， ）

Answer 1

【答案】
（1）解：在正常水位時，設水面與橋橫截面的交線為x軸，

過拱橋最高點且與水面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系，

如圖所示，則A，B，D三點的坐標分別為（﹣16，0），（16，0），（0，8）．

又圓心C在y軸上，故可設C（0，b）．

因為|CD|=|CB|，所以 ，解得b=﹣12．

所以圓拱所在圓的方程為：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400

（2）解：當x=4時，求得y≈7.6，即橋拱寬為8m的地方距正常水位時的水面約7.60m，距漲水后的水面約5.6m，因為船高6.5m，頂寬8m，

所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能順利通過橋洞．

【解析】（1）在正常水位時，設水面與橋橫截面的交線為x軸，過拱橋最高點且與水面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系建立坐標系，利用|CD|=|CB|，確定圓的方程；（2）令x=4時，求得y≈7.6，即橋拱寬為8m的地方距正常水位時的水面約7.60m，即可求得通過橋洞，船身至少應該降低多少．