Question

設函數f（x）=|x-2a|，a∈R．
（1）若不等式f（x）＜1的解集為{x|1＜x＜3}，求a的值；
（2）若存在x?∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解不等式f（x）＜1，可得2a-1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集為{x|1＜x＜3}，可得 2a-1=1，且2a+1=3，由此解得a的值．
（2）由題意可得不等式|x-2a|＜3-x有解，即 x-3＜x-2a＜3-x有解，即

x-2a＜3-x x-3＜x-2a

有解，即

2x＜2a+3 -3＜-2a

有解，由此求得a的范圍．

解答：解：（1）由于函數f（x）=|x-2a|，由不等式f（x）＜1，可得-1＜x-2a＜1，解得2a-1＜x＜2a+1．
再由此不等式的解集為{x|1＜x＜3}，可得 2a-1=1，且2a+1=3，解得a=1．
（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，即不等式|x-2a|＜3-x有解，即 x-3＜x-2a＜3-x有解，
即

x-2a＜3-x x-3＜x-2a

有解，即

2x＜2a+3 -3＜-2a

有解，故有a＜

3

2

，即a的范圍為（-∞，

3

2

）．

點評：本題主要考查絕對值不等式額解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．