Question

已知橢圓的焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），直線x=4是它的一條準線．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A₁、A₂分別是橢圓的左頂點和右頂點，P是橢圓上滿足|PA₁|-|PA₂|=2的一點，求tan∠A₁PA₂的值；
（3）若過點（1，0）的直線與以原點為頂點、A₂為焦點的拋物線相交于點M、N，求MN中點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據焦點坐標得c，根據準線方程x=4可得a²，再根據b²=a²-c²求得b²，把a²和b²代入標準方程即可．
（2）由題設知，點P在以A₁、A₂為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支上．根據（1）中的標準方程，可求得A₁和A₂的坐標，根據題意可知p點為橢圓和雙曲線的交點，設雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1，根據焦點和準線方程．分別可求得m和n，進而可得雙曲線方程，根據橢圓和雙曲線的標準方程，進而可求得點p的坐標，進而求得tan∠A₁PA₂的值．
（3）由題設知，拋物線方程為y²=8x．設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入拋物線方程，設點Q（x，y）進而可得點Q的坐標，把y₁²=8x₁和y₂²=8x₂兩式相減，然后把點Q的坐標（x，y）代入即可得到x與y的關系式，進而得到點Q的軌跡方程

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題設有c=1，

a2

c

=4，
∴a²=4
∴b²=a²-c²=3．
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題設知，點P在以A₁、A₂為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支上．
由（1）知A₁（-2，0），A₂（2，0），
設雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）．
則2m=2，m²+n²=4，
解得m=1，n=

3

．
∴雙曲線方程為x²-

y2

3

=1．
由

x2

4

+

y2

3

=1，x²-

y2

3

=1，
解得P點的坐標為（

2 10

5

，

3 5

5

）或（

2 10

5

，-

3 5

5

）．
當P點坐標為（

2 10

5

，

3 5

5

）時，tan∠A₁PA₂=

kPA2-kPA1

1+kPA2kPA1

=-4

5

．
同理當P點坐標為（

2 10

5

，-

3 5

3

）時，
tan∠A₁PA₂=-4

5

．
故tan∠A₁PA₂=-4

5

．
（3）由題設知，拋物線方程為y²=8x．
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中點Q（x，y），
當x₁≠x₂時，有
y₁²=8x₁，①
y₂²=8x₂，②
x=

x1+x2

2

，③
y=

y1+y2

2

，④

y1-y2

x1-x2

=

y

x-1

．⑤
①-②，得

y1-y2

x1-x2

（y₁+y₂）=8，
將④⑤代入上式，有

y

x-1

•2y=8，
即y²=4（x-1）（x≠1）．
當x₁=x₂時，MN的中點為（1，0），仍滿足上式．
故所求點Q的軌跡方程為y²=4（x-1）．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程的問題．橢圓的問題常與雙曲線、拋物線和直線等問題一同考查，屬高考的常考題目．