Question

【題目】已知F1,F2為橢圓C： 的左右焦點，點為其上一點，且有.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）圓O是以F1,F2為直徑的圓，直線l: y =k x + m與圓O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A,B，若，求k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析；（1）設橢圓 的標準方程為 ，由已知 ，由此能求出橢圓 的標準方程

（2）由直線 與圓 相切，得 ，設

由 消去 ，得，利用韋達定理、根的判別式、向量的數量積，結合已知條件能求出 的值.．

試題解析;（1）由題意得： ，解得： ，

則橢圓方程為.

（2）由直線l與圓O相切，得 ，即m2=1+k2，

設A（x1，y1）B（x2，y2）,

由 消去y，整理得： ，

Δ＝(8km)2－4(4m2－12)·(3＋4k2)＝16(9k2＋6)＞0恒成立,

所以 ，

∵m2=1+k2，

解得.