Question

如圖所示，在直三棱柱中，，為的中點．

(Ⅰ) 若AC₁⊥平面A₁BD，求證：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，設AB＝1，求三棱錐的體積．

Answer 1

（I）通過證明“線線垂直”，得到“線面垂直”，⊥面，得到．
又在直棱柱中，，得到⊥平面．
（II）三棱錐的體積.

試題分析：（I）（I）通過證明“線線垂直”，得到“線面垂直”，⊥面，得到．
又在直棱柱中，，得到⊥平面．
（II）為確定三棱錐的體積，應注意明確“底面”“高”，注意遵循“一作，二證，三計算”的解題步驟.通過證明“平面”．明確就是三棱錐的高．
解答此類問題，容易出現的錯誤是忽視證明，利用直觀感覺確定高.
試題解析：（I）直三棱柱中，∵，∴四邊形為正方形，
∴，
又∵面，∴，∴⊥面，∴．
又在直棱柱中，，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
（II）∵，為的中點，∴．
∴平面．
∴就是三棱錐的高．
由（I）知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴平面ABB₁A₁．
∴．∴是直角等腰三角形．
又∵，∴，
∴，
∴三棱錐的體積.