Question

已知圓與圓，在下列說法中：
①對于任意的，圓與圓始終相切；
②對于任意的，圓與圓始終有四條公切線；
③當時，圓被直線截得的弦長為；
④分別為圓與圓上的動點，則的最大值為4．
其中正確命題的序號為______．

Answer 1

①③④

對于①，我們知道兩個圓相切等價于兩個圓的圓心距剛好等于兩個圓的半徑之和，有題意，有：圓的半徑為：1，圓心為：；圓的半徑為：1，圓心為：，所以兩個圓的圓心距為：，又因為，兩圓的半徑之和為：1+1=2=圓心距，所以對于任意，圓和圓始終相切。
對于②，從①有，兩圓相切，所以兩圓只有三條公切線，所以②錯誤。
對于③，我們有圓的方程為：，故有圓的圓心為：，設其被所截弦為，過圓心做垂直于，則由圓的性質，有是弦的中點，所以圓心到直線的距離為：，又因為圓的半徑為1，所以有其所截弦的長為：所以③正確。
對于④，由①有，兩圓相切，所以兩圓上的點的最大距離就是兩圓的直徑之和，因為的直徑為2，的直徑也為2，也就是說的最大值為：2+2=4.