Question

市政府為招商引資，決定對外資企業第一年產品免稅．某外資廠該年A型產品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當地政府開始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產品的出廠價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件．
（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數，并指出這個函數的定義域；
（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？
（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據該產品的出廠價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件．可得年銷售收入為（11.8-p）萬元，從而可求政府對該商品征收的稅收函數；
（II）由y≥16得（11.8-p）p≥16，即p²-12p+20≤0，從而可求稅率p%的范圍；
（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）=（11.8-p）（2≤p≤10），可以證明g（p）在[2，10]是減函數，從而可求廠家銷售金額最大值．
解答：解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬件，
年銷售收入為（11.8-p）萬元，
政府對該商品征收的稅收y=（11.8-p）p%（萬元）
故所求函數為y=（11.8-p）p
由11.8-p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8-p）p≥16
化簡得p²-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．
故當稅率在[0.02，0.1]內時，稅收不少于16萬元． …（9分）
（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，
廠家的銷售收入為g（p）=（11.8-p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是減函數
∴g（p）_max=g（2）=800（萬元）
故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大． …（14分）
點評：本題以實際問題為載體，開始函數模型的構建，考查解不等式，有一定的綜合性．