Question

對于兩個定義域相同的函數f（x）、g（x），如果存在實數m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），則稱函數h（x）是由“基函數f（x）、g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+x和g（x）=x+2生成一個偶函數h（x），求h（

2

）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函數f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）如果給定實系數基函數f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），問：任意一個一次函數h（x）是否都可以由它們生成？請給出你的結論并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據其是偶函數這一性質得到引入參數的方程，求出參數的值，即得函數的解析式，代入自變量求值即可．
（2）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據同一性建立引入參數的方程求參數，然后再求a+2b的取值范圍；
（3）設任意一個一次函數h（x）=kx+h，且k≠0，假設h（x）=mf（x）+ng（x），解得 m=

k+m•b1•k 2-hk 2

k1b 2

，n=

k•b1•k 2+m b12 k 2

k1b2 2

，從而可得問題的結論是肯定的．

解答：解：（1）設h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx² +（m+n）x+2n，
∵h（x）是偶函數，∴m+n=0，∴h（

2

）=2m+2n=0．
（2）設h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb，
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

，解得

a= 3-n 2 b=- 1 n

，
∴a+2b=

3-n

2

-

2

n

=

3

2

-

n

2

-

2

n

．
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈（-∞，-

1

2

）∪（

7

2

，+∞）．
（3）如果給定實系數基函數f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），則任意一個一次函數h（x）都可以由它們生成．
證明：設任意一個一次函數h（x）=kx+h，且k≠0，
假設h（x）=mf（x）+ng（x），則有 kx+h=mk₁x+mb₁ +nk₂x+nb₂，解得 m=

k+m•b1•k 2-hk 2

k1b 2

，n=

k•b1•k 2+m b12 k 2

k1b2 2

．
這說明，無論給任何一個一次函數 h（x）=kx+b，都可以用基函數f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0）來表示，問題得證．

點評：本題考點是函數的奇偶性與單調性綜合，考查了利用偶函數建立方程求參數以及利用同一性建立方程求參數，本題涉及到函數的性質較多，綜合性，抽象性很強，做題時要做到每一步變化嚴謹，才能保證正確解答本題，屬于中檔題．