Question

【題目】已知函數

（1）若存在正數，使恒成立，求實數的最大值；

（2）設，若沒有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)1(2)

【解析】

（1）先對函數求導，再由導數研究出原函數的單調性，確定最大值，結合條件中的不等式，分離參數，得到關于的函數就，再利用導數求出的最大值；

（2）把的值代入，利用導數研究的單調區間，要使沒有零點，則的最小值大于0，然后分類參數，即可求出實數的取值范圍。

解：（1），

當時，，在上是增函數；

當時，在上是減函數，

故當時，函數取得極大值.

若對任意恒成立，

當且僅當，即成立.

設，則.

當時，是增函數；

當時，是減函數，

所以當時，取得極大值，即.

所以，即實數的最大值是.

（2），所以

，

設，則在上是增函數，

又，

所以在區間內存在唯一零點，即.

當時，，即；

當時，，即，所以在上是減函數，在 上是增函數，所以.

因為沒有零點，所以，

即，

所以的取值范圍是.