Question

（本小題滿分12分）如圖，在點上，過點做//將的位置（），

使得.

(I)求證：  （II）試問：當點上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）當點E在線段AB上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值.

【解析】

試題分析：（1）在中，

又平面PEB.

又平面PEB,

（2）在平面PEB內，經P點作PDBE于D，由（1）知EF面PEB,

EFPD.PD面BCEF.在面PEB內過點B作直線BH//PD,則BH面BCFE.以B點為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.

設PE=x（0＜x＜4）又

在中，

從而   

設是平面PCF的一個法向量，由

得取得

是平面PFC的一個法向量 又平面BCF的一個法向量為

設二面角的平面角為，則

因此當點E在線段AB上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值.

考點：本題主要考查立體幾何中的基本問題，空間向量的應用。

點評：本題通過考查直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想像能力、推理論證能力、運算求解能力、考查化歸與轉化思想，函數與方程思想等．屬中檔題。