Question

【題目】設， ，函數， .

（Ⅰ）若與有公共點，且在點處切線相同，求該切線方程；

（Ⅱ）若函數有極值但無零點，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當， 時，求在區間的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）.

【解析】試題分析：（1）利用切線的幾何意義求切線的斜率；（2）利用導數分析函數的單調性，結合極值，只需極小值大于0或極大值小于0即可求出；（3）利用導數判斷新函數的單調性及極值，再結合定義域分析函數再區間上的最小值．

試題解析：（Ⅰ）由得

；

在點的切線方程為 ，即．

（Ⅱ）當時，由恒成立，可知函數在定義域單調遞增，此時無極值．

當時，由得；由得； 得．

于是， 為極大值點，且 ．

由于函數無零點，因此 ，解得

（Ⅲ）不妨設得 ．

設， ，

設的兩根為， ；且，由得， 且．

．

時；

時；

時．

在遞增， 遞減．

①當時，即解得時， ， 在遞減；

．

②當時，即解得時， ， 在遞增；

．

③當時，即時， 在遞增， 遞減；

．

（i）當時， ，

．

（ii）當時， ，

．

綜合①、②、③得在區間的最小值；

．