Question

（2013•朝陽區一模）已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，2]上有且只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域再求函數的導數，當導數大于0時函數單調遞增，當導數小于0時單調遞減．
（II）此題考查的是函數的零點存在問題．在解答的過程當中要先結合函數f（x）在區間（0，2]內有且只有一個零點的條件，結合（I）中確定函數的增減區間，求出函數的極小值和極大值，再轉化出不等關系，利用此不等關系即可獲得問題的解答．

解答：解：（I）函數定義域為x＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

…（2分）
①當a≤0，即

a

2

≤0時，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函數f（x）的單調遞減區間為（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函數f（x）的單調遞增區間為（1，+∞）．
②當0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2時，令f'（x）＞0，得0＜x＜

a

2

或x＞1，
函數f（x）的單調遞增區間為(0，

a

2

)，（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得

a

2

＜x＜1，函數f（x）的單調遞減區間為(

a

2

，1)．
③當

a

2

=1，即a=2時，f'（x）≥0恒成立，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）①當a≤0時，由（Ⅰ）可知，函數f（x）的單調遞減區間為（0，1），f（x）在（1，2]單調遞增．
所以f（x）在（0，2]上的最小值為f（1）=a+1，
由于f(

1

e2

)=

1

e4

-

2

e2

-

a

e2

+2=(

1

e2

-1)2-

a

e2

+1＞0，
要使f（x）在（0，2]上有且只有一個零點，
需滿足f（1）=0或

f(1)＜0 f(2)＜0

解得a=-1或a＜-

2

ln2

．
②當0＜a≤2時，由（Ⅰ）可知，
（ⅰ）當a=2時，函數f（x）在（0，2]上單調遞增；
且f(e-4)=

1

e8

-

4

e4

-2＜0，f(2)=2+2ln2＞0，所以f（x）在（0，2]上有且只有一個零點．
（ⅱ）當0＜a＜2時，函數f（x）在(

a

2

，1)上單調遞減，在（1，2]上單調遞增；
又因為f（1）=a+1＞0，所以當x∈(

a

2

，2]時，總有f（x）＞0．
因為e -

2a+2

a

＜1＜a+2，
所以f（e -

2a+2

a

）=e -

2a+2

a

[e -

2a+2

a

-（a+2）]+（alne -

2a+2

a

+2a+2）＜0．
所以在區間（0，

a

2

）內必有零點．又因為f（x）在（0，

a

2

）內單調遞增，
從而當0＜a≤2時，f（x）在（0，2]上有且只有一個零點．
綜上所述，0＜a≤2或a＜-

2

ln2

或a=-1時，f（x）在（0，2]上有且只有一個零點．…（13分）

點評：此題考查的是利用導數研究函數的單調性，函數的零點存在問題．在解答的過程當中充分體現了等價轉化的思想，以及零點定理的相關知識．值得同學們體會反思．