Question

在平面直角坐標系中，若點A、B同時滿足
（1）點A、B都在函數y=f（x）的圖象上；
（2）點A、B關于原點對稱．則稱點對（A，B）是函數y=f（x）的一個“姐妹點對”（規定點對（A，B）與點對（B，A）是同一個“姐妹點對”）．若函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，則a的取值范圍為________．

Answer 1

解：構建函數y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數y=x+a，函數y=a^x（a＞0，且a≠1）關于原點對稱的函數為y=-a^-x
∵函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，
∴函數y=x+a與y=a^-x只有一個交點
∵a＞1時，y=a^-x單調減，與函數y=x+a圖象只有一個交點；
0＜a＜1時，y=a^-x單調減，與函數y=x+a圖象沒有交點；
此時有a＞1；
故答案為a＞1．
分析：構建函數y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數y=x+a，函數y=a^x（a＞0，且a≠1）關于原點對稱的函數為y=-a^-x，函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點對”，可轉化為函數y=x+a與y=-a^-x只有一個交點，由此可得結論．
點評：本題考查新定義，考查函數的對稱性，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．